Hipergeometrinis pasiskirstymas (apibrėžimas, formulė) Kaip apskaičiuoti?

Hipergeometrinio pasiskirstymo apibrėžimas

Statistikoje ir tikimybių teorijoje hipergeometrinis pasiskirstymas iš esmės yra aiškus tikimybių pasiskirstymas, apibrėžiantis k sėkmės tikimybę (ty atsitiktinius atsitiktinius brėžinius piešiamam objektui, turinčiam tam tikrą nurodytą ypatybę), kai nė vienas neduoda, be jokio pakaitalo. populiacijos dydis N, kuris apima tiksliai K objektus, turinčius tą bruožą, kai piešti gali pavykti arba nepavykti.

Hipergeometrinio pasiskirstymo tikimybės formulė gaunama naudojant daugybę populiacijos elementų, imties elementų skaičių, populiacijos sėkmių skaičių, atrankos sėkmių skaičių ir keletą derinių. Matematiškai tikimybė pateikiama kaip

P = K C k * (N - K) C (n - k) / N C n

kur,

  • N = elementų skaičius populiacijoje
  • n = imties elementų skaičius
  • K = populiacijos pasisekimų skaičius
  • k = sėkmės pavyzdyje skaičius

Hipergeometrinio pasiskirstymo vidurkis ir standartinis nuokrypis išreiškiami taip:

Vidutinis = n * K / N standartinis nuokrypis = (n * K * (N - K) * (N - n) / (N 2 * (N - 1))) 1/2

Paaiškinimas

1 veiksmas: pirmiausia nustatykite bendrą elementų skaičių populiacijoje, kurį žymi N. Pavyzdžiui, žaidimo kortų skaičius denyje yra 52.

2 žingsnis: Tada nustatykite pavyzdyje esančių elementų skaičių, pažymėtą n, pavyzdžiui, kortų, ištrauktų iš kaladės, skaičių.

3 žingsnis: Tada nustatykite atvejus, kurie bus laikomi sėkmingais populiacijoje, ir tai žymima K. Pavyzdžiui, širdžių skaičius bendrame denyje yra 13.

4 žingsnis: Tada nustatykite egzempliorius, kurie bus laikomi sėkmingais sudarytoje imtyje, ir tai žymima k. Pvz., Širdžių skaičius kortelėse, ištrauktose iš kaladės.

5 žingsnis: Galiausiai, hipergeometrinio pasiskirstymo tikimybės formulė nustatoma naudojant daugybę populiacijos elementų (1 žingsnis), imties elementų skaičių (2 žingsnis), populiacijos sėkmių skaičių (3 žingsnis) ir pavyzdžių sėkmių skaičius (4 žingsnis), kaip parodyta žemiau.

P = K C k * (N - K) C (n - k) / N C n

Hipergeometrinio pasiskirstymo pavyzdžiai (naudojant „Excel“ šabloną)

1 pavyzdys

Paimkime įprastos žaidimo kortų kaladės pavyzdį, kai 6 kortos ištraukiamos atsitiktinai, nepakeičiant. Nustatykite tikimybę ištraukti tiksliai 4 raudonas apartamentų korteles, ty deimantus ar širdis.

  • Atsižvelgiant į tai, N = 52 (nes paprastame žaidimo denyje yra 52 kortos)
  • n = 6 (atsitiktinai iš kaladės ištrauktų kortų skaičius)
  • K = 26 (nes deimantų ir širdžių rinkinyje yra po 13 raudonų kortelių)
  • k = 4 (raudonųjų kortelių, kurios laikomos sėkmingomis sudarytame pavyzdyje, skaičius)

Sprendimas:

Todėl tikimybę ištraukti tiksliai 4 raudonas apartamentų korteles ištrauktose 6 kortelėse galima apskaičiuoti naudojant aukščiau pateiktą formulę,

Tikimybė = K C k * (N - K) C (n - k) / N C n

= 26 C 4 * (52 - 26) C (6 - 4) / 52 C 6

= 26 C 4 * 26 C 2 / 52 , C 6

= 14950 * 325/20358520

Tikimybė bus -

Tikimybė = 0,2387 ~ 23,87%

Todėl yra 23,87% tikimybė ištraukti tiksliai 4 raudonas korteles, o iš įprasto kaladės ištraukti 6 atsitiktines korteles.

2 pavyzdys

Paimkime dar vieną piniginės pavyzdį, kuriame yra 5 USD 100 ir 7 USD 1 sąskaitos. Jei 4 vekseliai pasirenkami atsitiktinai, nustatykite tikimybę pasirinkti tiksliai 3 USD 100 vekselių.

  • Atsižvelgiant į tai, N = 12 (100 USD kupiūrų skaičius + 1 USD banknotų skaičius)
  • n = 4 (atsitiktinai pasirinktų sąskaitų skaičius)
  • K = 5 (nes yra 5 100 USD kupiūros)
  • k = 3 (100 USD kupiūrų, kurios turi būti laikomos sėkminga pasirinktoje imtyje, skaičius)

Sprendimas:

Todėl tikimybę pasirinkti tiksliai 3 USD 100 vekselių atsitiktinai pasirinktose 4 vekseliuose galima apskaičiuoti naudojant aukščiau pateiktą formulę,

Tikimybė = K C k * (N - K) C (n - k) / N C n

= 5 C 3 * (12–5) C (4–3) / 12 C 4

= 5 , C 3 * 7 C 1 / 12 , C 4

= 10 * 7/495

Tikimybė bus -

Tikimybė = 0,1414 ~ 14,14%

Todėl yra 14,14% tikimybė pasirinkti tiksliai 3 USD 100 vekselius, kai sudaromos 4 atsitiktinės sąskaitos.

Aktualumas ir naudojimas

Hipergeometrinio pasiskirstymo sąvoka yra svarbi, nes ji suteikia tikslų būdą nustatyti tikimybes, kai bandymų skaičius nėra labai didelis ir kad mėginiai imami iš baigtinės populiacijos be pakeitimų. Iš tikrųjų hipergeometrinis pasiskirstymas yra analogiškas binominiam pasiskirstymui, kuris naudojamas, kai bandymų skaičius yra iš esmės didelis. Tačiau mėginiams imti be pakeitimų daugiausia naudojamas hipergeometrinis pasiskirstymas.

Įdomios straipsniai...