Eulerio „Totient“ funkcija - reikšmė, pavyzdžiai, kaip apskaičiuoti?

Kas yra „Euler Totient“ funkcija?

Eulerio funkcija „Totient“ yra matematinės daugybos funkcijos, kurios skaičiuoja teigiamus sveikuosius skaičius iki nurodyto sveiko skaičiaus, paprastai vadinamo „n“, kuris yra pagrindinis skaičius nuo „n“, ir funkcija naudojama norint sužinoti pirminių skaičių, egzistuojančio iki pateiktas sveikasis skaičius „n“.

Paaiškinimas

Norėdami sužinoti, kiek pirminių skaičių ateina į nurodytą skaičių „n“, naudojama Eulerio Totiento funkcija. Tai dar vadinama aritmetine funkcija. Taikant arba naudojant „Euler Totient“ funkciją svarbu du dalykai. Viena yra ta, kad gcd, suformuotas iš nurodyto sveiko skaičiaus „n“, turėtų būti dauginamasis vienas kitam, o kitas - gcd skaičiai turėtų būti tik pirminiai skaičiai. Tokiu atveju sveikasis skaičius „n“ turėtų būti didesnis nei 1. Iš neigiamo sveiko skaičiaus neįmanoma apskaičiuoti Eulerio koeficiento funkcijos. Šiuo atveju principas yra tas, kad ϕ (n) daugikliai, vadinami m ir n, turėtų būti didesni nei 1. Taigi žymima 1

Istorija

Euleris šią funkciją pristatė 1763 m. Iš pradžių Euleris funkcijos žymėjimui naudojo graikų π, tačiau dėl kai kurių problemų jo graikų π žymėjimas nebuvo pripažintas. Nepavyko jam suteikti tinkamo žymėjimo ženklo, ty ϕ. Taigi funkcija negali būti įvesta. Toliau ϕ buvo paimtas iš Gauso 1801 m. Disquisitiones Arithmeticae. Funkcija taip pat vadinama phi funkcija. Tačiau 1879 m. JJ Sylvesteris įtraukė šios funkcijos terminą dėl funkcijų savybių ir naudojimo. Skirtingos taisyklės yra skirtos spręsti skirtingiems sveikiesiems skaičiams, pvz., Jei sveikasis skaičius p yra pirminis skaičius, tada kuri taisyklė turi būti taikoma ir tt Visos Eulerio sudarytos taisyklės yra praktiškos ir gali būti naudojamos net ir šiandien, kai reikia spręsti tas pats.

Eulerio tikėjimo funkcijos savybės

Yra keletas skirtingų savybių. Kai kurios Eulerio totoento funkcijos savybės yra tokios:

  • Φ yra simbolis, naudojamas funkcijai žymėti.
  • Funkcija nagrinėja pirminių skaičių teoriją.
  • Funkcija taikoma tik teigiamų sveikųjų skaičių atveju.
  • Skaičiuojant funkciją ϕ (n), reikia rasti du dauginamuosius pirminius skaičius.
  • Funkcija yra matematinė funkcija ir naudinga daugeliu atžvilgių.
  • Jei sveikasis skaičius „n“ yra pagrindinis skaičius, tada gcd (m, n) = 1.
  • Funkcija veikia pagal formulę 1 <m <n, kur m ir n yra pirminiai skaičiai ir daugybos skaičiai.
  • Apskritai lygtis yra
Φ (mn) = ϕ (m) * ϕ (n) (1–1 / m) (1–1 / n)
  • Funkcija iš esmės skaičiuoja teigiamų sveikų skaičių, mažesnį nei nurodytas sveikasis skaičius, kuris yra palyginti pirminis skaičius nuo nurodyto sveiko skaičiaus.
  • Jei pateiktas sveikasis skaičius p yra pagrindinis, tada ϕ (p) = p - 1
  • Jei p galia yra pirminė, jei a = p n yra pagrindinė galia, tada ϕ (p n ) = p n - p (n-1)
  • ϕ (n) nėra vienas - vienas
  • ϕ (n) nėra ant.
  • ϕ (n), n> 3 visada lygus.
  • ϕ (10 n ) = 4 * 10 n-1

Apskaičiuokite Eulerio koeficiento funkciją

1 pavyzdys

Apskaičiuokite ϕ (7)?

Sprendimas:

ϕ (7) = (1,2,3,4,5,6) = 6

Kadangi visi skaičiai yra pirminiai iki 7, tai leido lengvai apskaičiuoti ϕ.

2 pavyzdys

Apskaičiuokite ϕ (100)?

Sprendimas:

Kadangi 100 yra didelis skaičius, todėl užtrunka daug laiko nuo 1 iki 100 skaičiuoti pirminius skaičius, kurie yra pirminiai skaičiai su 100. Taigi mes naudojame šią formulę:

  • ϕ (100) = ϕ (m) * ϕ (n) (1–1 / m) (1–1 / n)
  • ϕ (100) = 2 2 * 2 5
  • ϕ (100) = 2 2 * 2 5 * (1 - 1/2) * (1 - 1/5)
  • = 100 * 1/2 * 4/5
  • = 40

3 pavyzdys

Apskaičiuokite ϕ (240)?

240 kartotiniai yra 16 * 5 * 3, ty 2 4 * 5 * 3

  • ϕ (240) = ϕ (m) * ϕ (n) (1–1 / m) (1–1 / n)
  • ϕ (240) = 2 4 * 5 * 3

jei n M nėra pirminis skaičius, mes naudojame n m - n m-1

  • = (2 4 - 2 (4-1) ) * (5 1 - 5 (1-1) ) * (3 1 - 3 (1-1) )
  • = (2 4 - 2 3 ) * (5 - 1) * (3 - 1)
  • = 64

4 pavyzdys

Apskaičiuoti ϕ (49)?

  • ϕ (49) = ϕ (m) * ϕ (n) (1–1 / m) (1–1 / n)
  • ϕ (49) = ϕ (7) * ϕ (7)
  • = (7 1 - 7 (1-1) ) * (7 1 - 7 (1-1) )
  • = (7-1) * (7-1)
  • = 6 * 6
  • = 36

Programos

Įvairios programos yra tokios:

  • Funkcija naudojama apibrėžiant RSA šifravimo sistemą, naudojamą interneto saugumo šifravimui.
  • Naudojamas pirminių skaičių teorijoje.
  • Taip pat naudojamas atliekant didelius skaičiavimus.
  • Naudojamas elementariųjų skaičių teorijos taikymuose.

Išvada

Eulerio naudos funkcija yra naudinga daugeliu atžvilgių. Jis naudojamas RSA šifravimo sistemoje, kuri naudojama saugumo tikslais. Funkcija nagrinėja pirminio skaičiaus teoriją ir yra naudinga apskaičiuojant didelius skaičiavimus. Funkcija taip pat naudojama atliekant algebrinius skaičiavimus ir pradinius skaičius. Funkcijai žymėti naudojamas simbolis yra ϕ, jis taip pat vadinamas phi funkcija. Funkcija susideda iš daugiau teorinio, o ne praktinio naudojimo. Praktinis funkcijos naudojimas yra ribotas. Funkciją galima geriau suprasti naudojant įvairius praktinius pavyzdžius, o ne tik teorinius paaiškinimus. Yra daugybė taisyklių, pagal kurias apskaičiuojama „Euler“ koeficiento funkcija, o skirtingiems skaičiams turi būti taikomos skirtingos taisyklės. Ši funkcija pirmą kartą buvo įvesta 1763 m., Tačiau dėl kai kurių problemųji buvo pripažinta 1784 m., o pavadinimas buvo pakeistas 1879 m. Funkcija yra universali funkcija ir gali būti taikoma visur.

Įdomios straipsniai...