Binominio pasiskirstymo apskaičiavimo formulė
Binominio pasiskirstymo formulė naudojama norint apskaičiuoti x sėkmės tikimybę atliekant n nepriklausomo binominio eksperimento bandymus ir tikimybė gaunama derinant bandymų skaičių ir nCx pavaizduotų bandymų skaičių padauginus iš gautos sėkmės tikimybės į sėkmingų skaičių, išreikšto px, galią, kuri dar padauginama iš nesėkmės tikimybės, padidėjusios iki sėkmės skaičiaus ir bandymų, nurodytų (1-p) nx, skaičiaus.
Tikimybę gauti x sėkmės n nepriklausomuose binominio eksperimento bandymuose pateikia ši binominio pasiskirstymo formulė:
P (X) = n C x p x (1-p) nx
kur p yra sėkmės tikimybė
Pirmiau pateiktoje lygtyje naudojamas n C x , kuris yra ne kas kita, o derinio formulė. Derinių skaičiavimo formulė pateikiama kaip n C x = n! / x! (nx)! kur n reiškia daiktų skaičių (nepriklausomi bandymai), o x reiškia pasirinktų elementų skaičių vienu metu (sėkmės).
Jei binominiame pasiskirstyme n = 1, pasiskirstymas žinomas kaip Bernoulli pasiskirstymas. Binominio pasiskirstymo vidurkis yra np. Binominio pasiskirstymo dispersija yra np (1-p).
Binominio pasiskirstymo apskaičiavimas (žingsnis po žingsnio)
Binominio pasiskirstymo apskaičiavimą galima atlikti naudojant šiuos keturis paprastus veiksmus:
- 1 žingsnis: Apskaičiuokite bandymų skaičiaus ir sėkmingų rezultatų derinį. N C x formulė yra kur n! = n * (n-1) * (n-2)… * 2 * 1. Skaičiui n n faktorialą galima užrašyti kaip n! = n * (n-1)! Pavyzdžiui, 5! yra 5 * 4 * 3 * 2 * 1
- 2 žingsnis: Apskaičiuokite sėkmės tikimybę, gautą pagal sėkmės, kuri yra p x, skaičių .
- 3 žingsnis: Apskaičiuokite nesėkmės tikimybę, padidinančią sėkmės ir bandymų skaičiaus skirtumą. Sugedimo tikimybė yra 1 p. Taigi tai reiškia (1-p) nx gavimą
- 4 žingsnis: sužinokite rezultatų, gautų atlikus 1, 2 ir 3 veiksmus, produktą.
Pavyzdžiai
1 pavyzdys
Bandymų skaičius (n) yra 10. Sėkmės tikimybė (p) yra 0,5. Apskaičiuokite binominį pasiskirstymą, kad apskaičiuotumėte tikimybę sulaukti tiksliai šešių sėkmių.
Sprendimas:
Norėdami apskaičiuoti binominį pasiskirstymą, naudokite šiuos duomenis.
Binominį pasiskirstymą galima apskaičiuoti taip:
P (x = 6) = 10 C 6 * (0,5) 6 (1-0,5) 6/10
= (10! / 6! (10-6)!) * 0,015625 * (0,5) 4
= 210 * 0,015625 * 0,0625
Tikimybė sulaukti tiksliai 6 sėkmės bus
P (x = 6) = 0,2051
Tikimybė sulaukti lygiai 6 sėkmės yra 0,2051
2 pavyzdys
Draudimo bendrovės vadovas peržiūri draudimo polisų, kuriuos pardavė jam dirbantys draudimo pardavėjai, duomenis. Jis mano, kad 80% žmonių, įsigyjančių transporto priemonių draudimą, yra vyrai. Jis nori išsiaiškinti, kad jei atsitiktinai bus pasirinkti 8 transporto priemonių savininkai, kokia tikimybė, kad lygiai 5 iš jų yra vyrai.
Sprendimas: Pirmiausia turime išsiaiškinti, kas yra n, p ir x.
Binominį pasiskirstymą galima apskaičiuoti taip:
P (x = 5) = 8 C 5 * (0,8) 5 (1-0,8) 8-5
= (8! / 5! (8-5)!) * 0,32768 * (0,2) 3
= 56 * 0,32768 * 0,008
Lygiai 5 sėkmės tikimybė bus
P (x = 5) = 0,144680064
Tikimybė, kad tiksliai 5 transporto priemonių savininkai bus vyrai, yra 0,146000064.
3 pavyzdys
Ligoninės vadovybė džiaugiasi įvedus naują vaistą vėžiu sergantiems pacientams, nes tikimybė, kad žmogus jį sėkmingai gydys, yra labai didelė. Tikimybė, kad pacientas sėkmingai gydysis vaistu, yra 0,8. Vaistas skiriamas 10 pacientų. Raskite tikimybę, kad 9 ar daugiau pacientų bus sėkmingai gydomi.
Sprendimas: Pirmiausia turime išsiaiškinti, kas yra n, p ir x.
Turime rasti tikimybę, kad 9 ar daugiau pacientų bus sėkmingai gydomi. Taigi sėkmingai gydomas 9 arba 10 pacientų
x (skaičius, kurio tikimybę turite rasti) = 9 arba x = 10
Turime rasti P (9) ir P (10)
Binominio pasiskirstymo apskaičiavimas, norint rasti P (x = 9), gali būti atliktas taip:
P (x = 9) = 10 C 9 * (0,8) 9 (1–0,8) 10–9
= (10! / 9! (10-9)!) * 0,1334217728 * (0,2) 1
= 10 * 0,1334217728 * 0,2
9 pacientų tikimybė bus
P (x = 9) = 0,2664
Binominio pasiskirstymo apskaičiavimas, norint rasti P (x = 10), gali būti atliktas taip:
P (x = 10) = 10 C 10 * (0,8) 10 (1-0.8) 10-10
= (10! / 10! (10-10)!) * 0,107374182 * (0,2) 0
= 1 * 0,107374182 * 1
10 pacientų tikimybė bus
P (x = 10) = 0,1074
Todėl P (x = 9) + P (x = 10) = 0,268 + 0,1074
= 0,37758
Taigi 9 ar daugiau pacientų, gydomų šiuo vaistu, tikimybė yra 0,375809638.
Binominio paskirstymo skaičiuoklė
Galite naudoti šią binominio paskirstymo skaičiuoklę.
| n | |
| p | |
| x | |
| Binominio pasiskirstymo formulė = | |
| Binominio pasiskirstymo formulė = | n C x * p x * (1 -p) nx | |
| 0 C 0 * 0 0 * (1-0) 0-0 = | 0 |
Aktualumas ir naudojimas
- Yra tik du rezultatai
- Kiekvieno rezultato tikimybė išlieka pastovi nuo bandymo iki teismo
- Yra fiksuotas bandymų skaičius
- Kiekvienas bandymas yra nepriklausomas, ty vienas kitą pašalina
- Tai suteikia mums galimo sėkmingų rezultatų skaičiaus pasiskirstymą tam tikrame bandymų skaičiuje, kai kiekvieno iš šių bandymų sėkmės tikimybė yra vienoda.
- Kiekvienas binominio eksperimento bandymas gali sukelti tik du galimus rezultatus. Vadinasi, pavadinimas yra „binominis“. Vienas iš šių rezultatų yra žinomas kaip sėkmė, o kitas - nesėkmė. Pavyzdžiui, sergantys žmonės gali reaguoti į gydymą arba ne.
- Panašiai mesdami monetą galime turėti tik dviejų tipų rezultatus: galvos ar uodegos. Binominis skirstinys yra statistikoje naudojamas diskretus skirstinys, kuris skiriasi nuo tęstinio skirstinio.
Binominio eksperimento pavyzdys yra monetos mėtymas, tarkime, tris kartus. Kai apverčiame monetą, galimi tik du rezultatai - galvos ir uodegos. Kiekvieno rezultato tikimybė yra 0,5. Kadangi moneta mėtoma tris kartus, bandymų skaičius yra fiksuotas, tai yra 3. Kiekvieno metimo tikimybei kiti metimai įtakos neturi.
Binominis paskirstymas pritaikomas socialinių mokslų statistikoje. Jis naudojamas kuriant dichotominių rezultatų kintamųjų modelius, kur yra du rezultatai. To pavyzdys yra tas, ar rinkimus laimės respublikonai ar demokratai.
Binominė paskirstymo formulė „Excel“ (su „Excel“ šablonu)
Saurabas apie binominę skirstinio lygtį sužinojo mokykloje. Jis nori aptarti koncepciją su seserimi ir su ja lažintis. Jis manė, kad dešimt kartų metīs nešališką monetą. Jis nori statyti 100 USD už tai, kad gauna lygiai penkias uodegas per 10 metimų. Šiam statymui jis nori apskaičiuoti tikimybę gauti tiksliai penkias uodegas per 10 metimų.
Sprendimas: Pirmiausia turime išsiaiškinti, kas yra n, p ir x.
Yra integruota binominio paskirstymo formulė yra „Excel“, kuri yra
Tai BINOM.DIST (sėkmių, bandymų skaičius, sėkmės tikimybė, NETIESA).
Šis binominio pasiskirstymo pavyzdys būtų:
= BINOM.DIST (B2, B3, B4, FALSE), kur B2 langelis nurodo sėkmingų skaičių, B3 langelis - bandymų skaičių, o B4 langelis - sėkmės tikimybę.
Todėl skaičiuojant binominį pasiskirstymą bus
P (x = 5) = 0,24609375
Tikimybė gauti tiksliai 5 uodegas iš 10 metimų yra 0,24609375
Pastaba: FALSE aukščiau pateiktoje formulėje žymi tikimybės masės funkciją. Jis apskaičiuoja tikimybę, kad iš n nepriklausomų bandymų bus tiksliai n sėkmė. TRUE žymi kaupiamojo paskirstymo funkciją. Jis apskaičiuoja tikimybę, kad n nepriklausomų bandymų metu bus daugiausia x sėkmės.
