Centrinės ribos teoremos apibrėžimas
Centrinės ribos teoremoje teigiama, kad atsitiktinės populiacijos atsitiktinio kintamojo su bet kokiu pasiskirstymu imtys artės prie normalaus tikimybės pasiskirstymo, kai imties dydis didės, ir daroma prielaida, kad, kai imties dydis populiacijoje viršija 30, vidutinis visų imties stebėjimų vidurkis b bus beveik lygus populiacijos vidurkiui.
Centrinės ribos teoremos formulė
Mes jau aptarėme, kad kai imties dydis viršija 30, pasiskirstymas įgauna įprasto pasiskirstymo formą. Norint nustatyti normalų kintamojo pasiskirstymą, svarbu žinoti jo vidurkį ir dispersiją. Normalų pasiskirstymą galima teigti kaip
X ~ N (µ, α)
Kur
- N = stebėjimų skaičius
- µ = stebėjimų vidurkis
- α = standartinis nuokrypis
Daugeliu atvejų stebėjimai daug ko neatskleidžia. Taigi būtina standartizuoti stebėjimus, kad būtų galima tai palyginti. Tai atliekama naudojant „z“ balą. Reikia apskaičiuoti stebėjimo Z balą. Z taško apskaičiavimo formulė yra
Z = (X-µ) / α / √n
Kur
- Z = stebėjimų Z balas
- µ = stebėjimų vidurkis
- α = standartinis nuokrypis
- n = imties dydis
Paaiškinimas
Centrinės ribos teoremoje teigiama, kad atsitiktinės populiacijos kintamojo atsitiktinės imties su bet kokiu pasiskirstymu artės prie normalaus tikimybės pasiskirstymo, kai imties dydis didės. Centrinės ribos teoremoje daroma prielaida, kad kadangi imties dydis populiacijoje viršija 30, imties vidurkis, kuris yra visų imties stebėjimų vidurkis, bus artimas populiacijos vidurkiui. Taip pat standartinis imties nuokrypis, kai imties dydis viršija 30, bus lygus standartiniam populiacijos nuokrypiui. Kadangi imtis yra atsitiktinai parinkta iš visos populiacijos, o imties dydis yra didesnis nei 30, tai padeda hipotezėms tikrinti ir konstruoti hipotezės patikimumo intervalą.
Centrinės ribos teoremos formulės pavyzdžiai (su „Excel“ šablonu)
1 pavyzdys
Supraskime įprasto pasiskirstymo sampratą pavyzdžio pagalba. Vidutinė investicinio fondo grąža yra 12%, o standartinis nuokrypis nuo vidutinės investicinių fondų investicijų grąžos yra 18%. Jei darysime prielaidą, kad grąžos paskirstymas yra paprastai paskirstytas, interpretuokime investicinio fondo investicijų grąžos paskirstymą.
Atsižvelgiant į tai,
- Vidutinė investicijos grąža bus 12%
- Standartinis nuokrypis bus 18%
Taigi, norėdami sužinoti 95% pasikliautino intervalo grąžą, galime tai sužinoti išsprendę lygtį kaip
- Viršutinis diapazonas = 12 + 1,96 (18) = 47%
- Apatinis diapazonas = 12 - 1,96 (18) = -23%
Rezultatas reiškia, kad 95% laiko investicinio fondo grąža bus nuo 47% iki -23%. Šiame pavyzdyje imties dydis, kuris yra atsitiktinės imties iš daugiau nei 30 grąžos stebėjimų grąža, suteiks mums investicinio fondo populiacijos grąžos rezultatą, nes imties paskirstymas bus paprastai paskirstytas.
2 pavyzdys
Tęsdami tą patį pavyzdį, nustatykime, koks bus 90% pasitikėjimo intervalo rezultatas
Atsižvelgiant į tai,
- Vidutinė investicijos grąža bus 12%
- Standartinis nuokrypis bus 18%
Taigi, norėdami sužinoti 90% pasikliautino intervalo grąžą, galime tai sužinoti išsprendę lygtį as
- Viršutinis diapazonas = 12 + 1,65 (18) = 42%
- Apatinis diapazonas = 12 - 1,65 (18) = -18%
Rezultatas rodo, kad 90% laiko investicinio fondo grąža bus nuo 42% iki -18%.
3 pavyzdys
Tęsdami tą patį pavyzdį, nustatykime, koks bus 99% pasikliautino intervalo rezultatas
Atsižvelgiant į tai,
- Vidutinė investicijos grąža bus 12%
- Standartinis nuokrypis bus 18%
Taigi, norėdami sužinoti 90% pasikliautino intervalo grąžą, galime tai sužinoti išsprendę lygtį as
- Viršutinis diapazonas = 12 + 2,58 (18) = 58%
- Apatinis diapazonas = 12 - 2,58 (18) = -34%
Rezultatas rodo, kad 99% laiko investicinio fondo grąža bus nuo 58% iki -34%.
Aktualumas ir naudojimas
Centrinės ribos teorema yra nepaprastai naudinga, nes leidžia tyrėjui imties pagalba numatyti visos populiacijos vidurkį ir standartinį nuokrypį. Kadangi imtis yra atsitiktinai parinkta iš visos populiacijos ir imties dydis yra didesnis nei 30, bet koks atsitiktinės imties dydis, paimtas iš populiacijos, artės prie normalaus pasiskirstymo, o tai padės hipotezėms išbandyti ir sukurti patikimumo intervalą. Hipotezės bandymas. Remdamasis centrinės ribos teorema, tyrėjas gali pasirinkti bet kurią atsitiktinę imtį iš visos populiacijos, o kai imties dydis yra didesnis nei 30,tada imties pagalba ji gali nuspėti populiaciją, nes imties rezultatas bus normalus, o imties vidurkis ir standartinis nuokrypis bus tokie patys kaip vidurkis ir standartinis populiacijos nuokrypis.
